考虑群体参照点的多属性决策方法
设计方案选择问题，通常由设计小组中的多名设计人员共同参与决策，每个设计人员针对产品设计方案的制造成本、重量等诸多属性给出的参照点往往不同或存在差异。因此，在考虑群体成员心理行为的情况下，如何给出一种有针对性的解决考虑群体参照点的多属性决策问题的决策分析方法是十分必要的。其中，解决问题的关键是如何依据多人给出的参照点来确定群体参照点。
基于以上分析，本文则是给出一种基于前景理论的决策方法。该方法是依据多人给出的参照点，计算个体参照点对群体参照点的影响度来确定群体参照点，即给出一种基于D-S理论的群体参照点确定方法；进一步地，依据前景理论，将决策矩阵转化为相对于群体参照点的群体收益矩阵和群体损失矩阵，并在此基础上通过计算各方案的群体前景值对所有方案进行排序。
1 问题描述
在考虑群体参照点的多属性决策问题中，为方便起见，记M={1，2，…，m}，N={1，2，…，n}，H={1，2，…，h}。记A={A1，A2，…，Am}表示m个备选方案的集合，其中Ai表示第i个备选方案，i∈M；C={Cl，C2，…，Cn}表示n个属性的集合，其中cj表示第j个属性，j∈N，且C1，C2，…，Cn是加性独立的。通常，属性可以分为效益型和成本型，效益型属性的属性值越大越好，而成本型属性的属性值越小越好。记Nb和Nc分别表示效益型属性和成本型属性的下标集合，且满足NbUNc=N和NbnNc=Φ。记w=（w1，w2，…，wn）表示属性的权重向量，其中wj为属性Cj的权重或者重要程度，满足wj>o表示决策矩阵，其中xij表示方案Ai针对属性C，的结果，i∈M，j∈N。记D={D1，D2，…，Dh}表示参与决策人的集合，其中Dt表示第ι个参与决策人，ι∈H；R=表示群体参照点矩阵，其中表示参与决策人Dt根据当前状态、对未来的预期和标准水平等因素给出针对属性Cj的参照点，j∈Ⅳ，ι∈Ⅳ。在本文中，考虑xij和均为清晰数，不失一般性，这里假设
本文要解决的问题是：在考虑多个参与决策人心理行为的情况下，依据决策矩阵X、属性权重向量w和群体参照点矩阵R，如何通过一个有效的决策分析方法得到所有方案的排序结果。
2 决策方法
为了解决上述问题，下面阐述本文提出的基于前景理论的决策分析方法。提出方法涉及两个关键部分：群体参照点的确定和群体前景值的计算，下面分别给出这两个部分计算过程的描述。
2.1 群体参照点的确定
由于个体参照点是由参与决策人各自根据自己的当前状态、心理预期或者主观偏好给出的，因而需要将多个参与决策人的参照点进行合成，形成一个群体参照点，以便依据群体参照点进行价值判断。许多文献表明，D-S证据理论在信息处理与合成等方面具有较大的优势，并且能够较好地反映人的主观判断过程与直觉思维习惯，基于此，下面给出一种基于D-S证据理论的群体参照点确定方法。
记针对属性cj的群体参照点为Rj，首先，依据D-S证据理论的思想，将各参与决策人针对属性Cj给出的参照点视为识别框，记为由决策活动组织者根据自己的知识、经验或偏好定义若干独立的证据对识别框进行判断。设决策活动组织者在对属性Cj的群体参照点Rj进行判断时考虑Kj个证据，证据集合记为，其中表示第q个证据，为方便起见，记在实际决策分析中，对于不同的属性，其证据集合通常是不同的，例如，在某电子产品设计方案选择问题中，依据设计小组中各成员给出的属性参照点确定设计小组关于产品制造成本的群体参照点时，考虑的证据通常有市场需求、经济性、设计成员的经验与知识等，在确定关于电子产品重量的群体参照点时，考虑的证据通常有技术可行性、经济性等。为了便于分析与计算，这里假设各证据的权重相等，即证据的权重
然后，由决策活动组织者针对证据Eq给出关于识别框的概率分布形式的判断信息，j∈N，q∈Kj。记为决策活动组织者针对证据Eq给出的参照点rj的可信度，满足，若决策活动组者给出的判断信息是完全的，则可信度满足；若给出的判断信息是不完全的，则可信度满足在本文中，依据现实情况，考虑决策活动组织者给出的可信度信息是不完全的情形，即在证据下，针对属性cj的群体参照点Rj的判断信息可用分布形式表示为进一步地，将针对每个证据的关于群体参照点Rj的判断信息进行合成。这里，首先对群体参照点Rj按照每一个证据做基本概率分配。在证据Ejq下，群体参照点Rj被判断为的基本概率分配函数为群体参照点Rj没有被分配的基本概率函数为
然后，将每个证据下群体参照点Rj的基本概率分配函数进行合成。记为前q个证据的集合，q=l，2，…，kj -1表示中所有证据支持群体参照点Rj被判断为的概率分配函数，表不前q个证据组合评价后没有被分配的概率函数，则和可以通过对前q个证据的概率分配函数进行合成得到，其算法如下：其中
式（3）～（5）均有j∈N，q=1，2，…，kj，-1，ι∈H，且初始值
依据式（1）～（5）对kj个证据下的判断信息进行合成之后，可得到群体参照点Rj关于识别框θj的综合可信度，即其中
这里，可以被视为群体成员Dt的参照点的影响度，表示不完全的信息产生的可信度。因此，群体参照点Rj可用分布形式表示为
由于在本文研究的问题中决策活动组织者给出的可信度信息是不完全的，即，因此群体参照点Rj被评价为rj的可能性实际上是在间。不失一般性，若记识别框中数值最大的为数值最小的则群体参照点Rj的最大值和最小值分别为在此基础上，可计算得到针对属性Cj的群体参照点Rj，其计算公式为
2.2 群体前景值的计算
针对决策矩阵和各属性的群体参照点R1，R2，…，Rn，计算每个方案针对各属性的属性值相对于群体参照点的收益和损失。属性值xij相对于群体参照点Rj的收益Gij的计算公式为损失Lij的计算公式为依据式（11）～（14），可分别建立群体收益矩阵G=和群体损失矩阵。显然，Gij>0，Lij ≤0，i∈M，j∈N。
针对矩阵G=[ Gij]mxn和L=[Lij]mxn，考虑到决策者对待收益和损失的不同心理反映，分别计算每个方案针对各属性的群体前景值。依据前景理论，群体前景值yij的计算公式为
其中，a和β分别表示价值函数的收益区域和损失区域的凹凸程度，其反映了决策者对待收益和损失的不同风险态度，0
这里需要说明的是，在文献中，Kahneman和Tversky运用参数法对大量实验结果进行拟合，得到参数a、β和λ的取值分别为a=β=0.88，λ=2.25，它们能够表示任意决策者大致的行为偏好，因此，在式（15）中取a=β=0.88，λ=2.25。依据式（15），可建立群体前景决策矩阵V=[Vij]mxn。
为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，需要将群体前景决策矩阵y=[yi]mxn。规范化为矩阵具体的规范化公式为其中依据简单加权方法，计算每个方案的群体综合前景值Ui，其计算公式为显然，Ui越大，方案Ai越好。因此，依据Ui值的大小，可对方案进行排序。
综上所述，考虑群体参照点的多属性决策方法的计算步骤如下：
步骤1依据式（1）～（10）计算针对每个属性的群体参照点Ri。
步骤2依据式（11）～（14）分别建立群体收益矩阵G=[Gi]mxn和群体损失矩阵L=[Lij]mxn。
步骤3依据式（15）建立群体前景决策矩阵V=[vij]mxn。
步骤4依据式（16）和（17）建立规范化群体前景决策矩阵
步骤5依据式（18）计算每个方案的群体综合前景值Ui，并依据Ui值的大小对方案进行排序。
3 实例分析
AT电子产品公司考虑开发一种个人掌上电脑并投放市场，现有5个备选设计方案（A1，A2，…，A5），考虑的属性有3个（C1，C2，C3），其中，C1为制造成本（单位：元），C2为电池连续使用时间（单位：小时），C3为产品重量（单位：克）。在这3个属性中，C1属性和C3为成本型属性，C2属性为效益型属性。假设该公司决策活动组织者提供的属性权重向量为ω= （0.50，0.30，0.20），决策矩阵如表1所示。该公司的产品设计小组中的5个专家给出的参照点矩阵如表2所示。为了解决该决策问题，下面简要说明采用本文给出的方法的计算过程。
首先，将产品设计小组的专家针对各属性的参照点视为识别框，即，1={1000，1050，1200，950，1100}，2={12，20，24，15，18}，3={120，150，130，110，100}。为了对上述识别框进行判断，决策活动组织者针对各识别框定义了若干证据，针对识别框的证据集合为E1={E1（市场需求），E2（经济性），E3（设计成员的经验与知识）}；针对识别框的证据集合为（经济性），（技术可行性），（顾客偏好）}；针对识别框的证据集合为（经济性），（技术可行性）}。这里假设识别框的各证据权重相等。决策活动组织者针对上述证据对各识别框进行判断，并给出了关于识别框的概率分布形式的判断信息如表3所示。
然后，依据式（1）～（7），将针对每个证据的群体参照点R，的判断信息进行合成，可以得到规模化因子和基本概率分配函数如下：
在此基础上，可得到针对各属性的概率分布形式的群体参照点如表4所示，并依据式（8）～（10）计算得到针对各属性的群体参照点分别为：R1=1079，R2=18，R3=124。依据式（11）～（14）分别建立群体收益矩阵G=[Gij]mxn和群体损失矩阵L=[Lij]mxn即进一步地，依据式（15）建立群体前景决策矩阵，并依据式（16）和（17）建立规范化群体前景决策矩阵，即依据式（18）计算得到每个方案的群体综合前景值为：U1=-0.43，U2=-0.40，U3=-0.66，U4=-0.14，U5=-0.17。依据前景值的大小，可以得到方案的排序结果为：A4>A5>A2>A1>A3，即选择设计方案A4投放市场。
4 结束语
本文针对考虑群体参照点的多属性决策问题，给出了一种基于前景理论的决策分析方法。该方法考虑了群体成员的心理行为，首先通过计算各参与决策人的参照点对群体参照点的影响度来确定群体参照点，然后依据前景理论的思想将决策矩阵转化为相对于群体参照点的群体收益矩阵和群体损失矩阵，在基础上，通过计算方案的群体前景值进行方案排序。本文提出的方法，能够使得到的决策结果反映群体成员的行为，并且具有概念清晰、计算简单等特点，有较强的可操作性和实用性，为解决考虑群体参照点的多属性决策问题提供了一种新途径。