物理学科中的对称美及其教学
摘要：物理科学中存在着对称美，追求物理科学中的对称美是物理学的研究方法之一。本文指出了在物理学科中存在着的几种对称美；在求解物理问题过程中所使用的几种对称性方法；以及在物理教学中如何培养与训练学生物理对称美思维能力的几种途径。
关键词：对称美；对称性方法；对称美思维能力；无限网络对称法
中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2008)12(S)-0027-3
众所周知，物理科学中存在着美，物理科学活动与审美活动有着密切的联系。科学史学家库恩曾说过：“美的概念在核对结果和发现新规律中被证明是非常宝贵的。”［1］例如，爱因斯坦提出的科学思想，有许多就是出于美学而不是出于逻辑的考虑，物理学家霍夫曼就曾这样来评价：“爱因斯坦的方法，虽然以渊博的物理学知识为基础，但是本质上是美的、直觉的。”［2］
1 物理学科中的对称美
对称美是自然界广泛存在的一种美，它显示出物质世界的和谐、优美和均衡。悠悠万物中所表现出来的空间对称性、时间对称性、与时空无关的更复杂的对称性等，无一不给人以美感，是一个能愉悦人身心的可感现象。作为研究物质世界最基本运动、结构及其规律性的物理学科，由于它是借助于一系列概念、规律及判断和推理表达出来的，经过实践检验或逻辑证明的系统知识，自然会渗透着对称性，存在着对称美。例如，麦克斯韦方程组不但以完美而对称的形式描述了电磁场的普遍运动规律，奠定了电磁运动理论，而且又使科学家通过该方程组，以独具特色的方式体验到了美的深刻涵义，以致被劳厄称为“美学上真正完美的对称形式。”［3］
1.1 物理模型的对称美
物理模型常常具有对称美，它在空间也常常呈现对称分布。例如，对于一个均匀球体，它相对于中心呈对称分布，所以，其球心就是它的重心。也就是说，当它与别的物体吸引时，球心就是引力中心；若球体均匀带电，则研究球外空间的电场分布时，可将全部电荷都集中在球心来处理。一个带电的导体球，电荷在球面上分布处处相同，这正是导体球具有对称美的结果。
1.2 运动的对称美
运动的对称美一般体现在运动的空间轨迹和运动参量随时间变化的函数图像上。例如，一个质点在竖直上抛运动的上升和下落阶段，若设质点在t0时刻到达最高点H0。显然，从时间、空间上说，质点的速度大小、加速度大小、动量大小、动能等都分别关于t0和H0对称。又如，物体沿光滑斜面的上滑和下滑阶段，关于最高点对称；斜上抛运动和小球沿光滑圆轨道内侧的运动，关于过其最高点的竖直线对称；简谐运动也是关于其平衡位置对称，等等。
1.3 电路的对称美
电路中既有场的问题也有实物的问题，其中存在的对称美亦很多。例如，直流电路中的对称美具体表现在：以电流的流向为轴，各对称支路的电压相等；电流横向各对称点的电势相等，由于这些对称点间没有电势差，则可以将各对称点短接或开路，均不会对原电路产生影响。
1.4 光路的对称美
光是一种电磁波，具有场的性质；它又是一种粒子——光子。在几何光学中，由于各种物质实体的存在，光路又会表现出实物的性质，具有实物的对称之美，这尤其在平面镜成像中得到了充分的体现。
2 物理学科中的对称性方法
对称美为物理学的研究提供了方法论的原则，许多物理学家正是通过对称美这一方法论原则，做出了重大发现。狄拉克常说：“一种正确的理论应该是美的”。他正是运用对称原理预言了正电子的存在。物理科学研究中的对称性方法通常分为四种：形象对称法、对称添补法、对称平衡法和数学对称法（变换不变性方法）［4］。最初电动力学中静电力、静磁力的平方反比定律公式的建立就是运用形象对称法追求与万有引力定律的平方反比公式相“对称”而得来的；德布罗意运用对称添补法，预言了物质波的存在；爱因斯坦运用对称平衡法创立了狭义相对论；洛伦兹变换的不变性导致了统计力学和量子力学，也是运用数学对称法的结果。
物理教学活动从一定层面上来说是师生共同寻求美、挖掘美，进而创造美的过程。通过找出问题的对称性，运用问题的对称性去思考问题，从对称性的角度去剖析问题的物理实质，从而在分析和解决问题时，抓住问题的“突破口”，这种求解物理问题的方法叫对称法。
运用对称法求解物理问题，可以使复杂的问题简单化，化难为易，化繁为简；还可以得到一些简洁解法而免去一些繁杂的数学计算，并使问题的物理实质得以更清楚的呈现。
物理问题中的对称美有时呈显性状态，有时呈隐性状态。按照物理问题中对称美的显性状态由强到弱，常见的物理问题求解的对称方法大致可分为直接求解法、镜像法、无限网络对称法、割补法等。
2.1 直接求解法
当一个物理问题具有非常明显的对称性时，根据其相互对称的部分具有某些对应和相同的特征的特点，一旦确定了它的某一部分的特征，就可直接推知其对称部分的特征。这种根据物理问题的明显对称性直接得出问题的结论或解决问题途径的方法就叫直接求解法。这种方法一般适用于具有物理模型的对称美，特别是一个形体它的各部分在空间上具有对称美的物理问题。
2.2 镜像法
当物理问题具有关于面或球等对称性时，可以用镜像法求解。
镜像法来自平面镜或球面镜成像，像与物关于镜面对称。力学、声学、电学中的物理问题具有上述对称性时，也可以用该法求解。
2.3 无限网络对称法
无限与有限，是一对矛盾的两个方面，但在一定条件下，无限与有限可互相转化，等效替代。无限网络具有对称性，增加或去掉一个网络对问题的求解没有影响。在运用无限网络对称法求解问题时，一者可以把无限网络转为有限网络；二者可从无限网络中直接找出某些物理量之间的关系。
2.4 等电势点断、接法
电路中的等电势点之间可以直接相连或者可以把其间的任何电阻或导线去掉，这就是等电势点断、接法。
2.5 割补法
在解决物理问题时，常常可以将研究对象及有关的物理量、物理过程和图像等，通过宏观分割或者填补进行拓补变化，使非对称性问题变为对称性问题，创造出对称美，使复杂结构变为单一结构，使隐含的条件和关系充分暴露，这种处理问题和解决问题的方法叫做割补法。
3 物理对称美思维能力的培养与训练
物理对称美思维能力是指能充分认识、了解、发现、挖掘或创造出物理问题中的对称美，从物理问题的对称美去思考问题，运用对称美去解决物理问题的能力。
3.1 简介物理学史，认识对称美
物理学的发展离不开对称思维，要让学生认识到这一点。物理教材有许多这样的素材，在适当的时机和切入点，教师要向学生介绍这样的事例。如在学习“库仑定律”时，应介绍：库仑的功绩主要在于通过扭秤实验确定了静电力的大小与两点电荷距离的平方成反比，至于静电力与两电荷电量乘积成正比，主要是类比于万有引力定律的结果。
3.2 挖掘物理内容，了解对称美
物理世界中的对称美普遍存在，无处不在。教师要充分挖掘物理教材中的对称美，把所有的对称美介绍给学生，这样既可激发学生学习物理的兴趣，有利于掌握物理知识，又可让学生了解对称美，知道对称美的普遍性。
3.3 学习守恒定律，欣赏对称美
最能体现物理学对称美的是物理学上的守恒定律。我们都会对对称美与守恒定律的永恒联系如此简单而深刻感到吃惊和敬畏，为人类智慧的追求能达到这样的高度而叹服。例如，动量守恒定律：若系统所受的合外力为零，这个系统的动量保持不变。其数学表达式是：
∑p=∑p0或∑（mv）=∑（mv0）
对于在一条直线上运动的两个物体组成的系统，动量守恒定律的一般表达式为：
m1v1+m2v2= m1v′1+m2v′2
从守恒定律的数学表达式可看出：表达式是如此简单，但含义却非常深刻；表达式的等式两边是严格对称的，给人一种爽心悦目的对称美感；学习守恒定律就是在欣赏对称美。
3.4 运用直觉思维，发现对称美
所谓直觉思维，就是人们在分析和解决问题时，头脑中的某些知识、经验和能力在无意识的状态下突然沟通，从而产生认识上的飞跃，对某一问题突然顿悟，迅速做出猜测和设想。有些问题中的对称美并没有明显地告诉我们，它隐含得很深，一下子难以发现，这就需要运用直觉思维，猜测其具有某种对称性，再进行检验，验证其猜测，发现对称美，进而找出解决问题的方法。
例1 有12个阻值都是R的电阻，组成一立方体，如图1（甲）所示，求每一面的等效电阻RAG。
初看起来，这个题目无从下手，但凭直觉猜测：甲图中的电阻应该具有对称性，可以用等电势点断、接法使电路简化，从而容易求解。
仔细考察各支点电位，可以证实上述猜测。设电流从同一平面的A点流入，G点流出。显然B、D两点电位相同，因而E、H两点电位也相同。把等电势点B、D直接相连，E、H直接相连，可以得到电路图乙。简化图乙可得图丙所示的桥式电路。桥式电路中，两臂电阻成正比例，E、H点和B、D点间的电阻上没有电流流过，即E、H点和B、D点也是等电势点。
这样，E、H点和B、D点之间可以看成断路。所以，RAG=（32R+32R）（R2+R2）32R+32R+R2+R2 =34R。
3.5 利用类比推理，寻找对称美
有些物理问题中的对称美只要运用类比推理，一下子就可以找出来。通过训练学生的类比推理能力，可以培养学生寻找对称美的能力。
例2 如图2所示，质量为m，所带电荷为q的小球系于上端固定的长为L的细线下端，并置于水平方向的匀强电场E中。当细线偏离竖直方向夹角为α时，小球静止。如果把小球稍稍拉离静止位置后由静止释放，求小球回到静止位置时的最短时间。
分析 只要把此问题与单摆类比，再把mg′=(mg)2+(Eq)2类比于mg，就可看出，此问题就是g′=g2+E2q2m2的具有对称美的单摆模型。从而容易求出所求的时间为
t=T4=π2mLm2g2+E2q2。
3.6 通过逆向思维，运用对称美
有些问题按常规方法去求解很复杂，甚至无法求解，如果根据问题的对称性，通过逆向思维求解则能起到意想不到的简便的效果或者使无法求解的问题能够求解。
例3 一个半径为R的光滑半球形球台，固定在水平面上，问在台下的水平面上应在何处以多大的速度朝何方向抛出一个小球（可视为质点），才可使小球最后恰好静止在半球台的顶点上？（不计空气阻力）
分析 若直接根据斜上抛等规律求解，本题很复杂，甚至无法下手。但若考虑到运动的对称性，运用逆向思维，设想小球原来静止在球台顶上，由于受到一个极小的扰动而由静止开始自行滑下，那么，小球落地时的速度大小和方向以及落地点距球台中心的距离即为所求。
物理科学中普遍存在着对称美。追求物理理论的对称美可促进物理科学的向前发展；追求物理问题的对称美可帮助我们学习物理知识，找到解决问题的捷径。因此，在物理教学中要让学生认识、了解、欣赏、发现、寻找和运用对称美，使学生掌握求解物理问题的对称性方法，培养和训练学生运用对称美求解物理问题的能力。
参考文献：
［1］［3］［4］王宏金，程民治．物理科学臻美概论［M］．济南：山东教育出版社，1996．前言，5，205-211.
［2］赵中立，许良英编译．纪念爱因斯坦译文集［M］．上海：上海科学技术出版社，1979．229.
(栏目编辑邓 磊)