对“流体连续性”困惑的探讨
一、一道高考题所引发的困惑
2013年浙江高考理综试卷第25题是以超导磁流体推进技术为背景的物理综合题，原题如下：
为了降低潜艇噪音，提高其前进速度，可用电磁推进器替代螺旋桨.潜艇下方有左、右两组推进器，每组由6个相同的用绝缘材料制成的直线通道推进器构成，其原理示意图如图1.在直线通道内充满电阻率ρ=0.2Ωm的海水，通道中a×b×c=0.3m×0.4m×0.3m的空间内，存在由超导线圈产生的匀强磁场，其磁感应强度B=6.4T、方向垂直通道侧面向外.磁场区域上、下方各有a×b=0.3m×0.4m的金属板M、N，当其与推进器专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了从N到M，大小恒为I=1.0×103A的电流，设该电流只存在于磁场区域.不计电源内阻及导线电阻，海水密度ρm≈1.0×103kg/m3，求：（前两个小问题此处省略）
（3）当潜艇以恒定速度v0=30m/s前进时，海水在出口处相对于推进器的速度v=34m/s，思考专用直流电源所提供的电功率如何分配，求出相应功率的大小.
此题显然是在实施素质教育背景下选拔物理高素质学生的立意新颖试题，袁张瑾[1]已经撰文证明了此题在非常理想条件下的电源能量分配转化的正确性和完备性.但高考后有学生尤其是不少物理教师产生这样的困惑：题中条件和示意图右边放大图显示磁推进管为矩形管形状，而磁推进管进水口与出水口流体速度相对于船有明显的不同，似乎与流体的流动连续性原则相矛盾.本文作者无意也无力解决流体工程实际问题，仅想在极端理想的流体模型上用中学基本物理原理尝试探讨海水流动连续性问题，目的是抛砖引玉，与同行商讨如何更好地解决与之相关的困惑.
二、磁流体推进管几何形状的数学方程推导
基于中学阶段师生对流体力学知识理解与掌握的现状考虑，数学推导将建立在流体与推进管之间无任何作用的非常理想模型之上，即：管壁除给流体提供电流外，对流体的流动可认为无任何约束，管中流体流动如同二维空间内的自由稳定流动.有动力驱动时，流线密度会随着流速增大而相应增加，流线因此弯曲并收窄，如图2. [注1].
建立如下流体模型：假设①海水为理想流体，即海水完全不可压缩和完全无粘滞性，同时忽略海水与管壁之间的粘滞阻力作用；②海水通过推进管的运动方式为稳流运动；③不考虑因海水电解而形成的气泡对海水流动的影响，不考虑其他引起海水湍流运动的可能因素.
设船匀速行驶，以船为参照系，船为惯性参照系.设通过电极的合理设计，使电流通过推进管内的海水时各处具有相同的电流密度j= =j0.
图3所示为磁流体推进管的主视图，设其上、下管壁以函数y=f（x）曲线分布，以阴影部分表示的流体微元作为分析对象，流体微元在时间微元Δt内完成加速.图4为磁流体推进管侧视图（为方便分析，假设截面为矩形）.
通过流体微元的电流强度： ΔI=ΔS·j0=z0·Δx·j0=z0·（x′-x）·j0
流体所受的安培力：F安=BIL=B·z0·Δx·j0·2y=2（B·z0·j0）y·Δx （1）
设流体微元左右压力差为零，管壁侧面压力与流速垂直且相互平衡，则： F合=F安.
1. 分析角度一：流体动量变化
由动量定理得：F安·Δt=ΔP=m·Δv （2）
其中m=2ρyz0Δx （3）
将（1）（3）式代入（2）式得： = （4）
式中：ρ为海水密度，j0为电流密度；B为磁感应强度；以上各量均为定值，a= .
因此，（4）式表明海水在推进管中做匀加速直线运动的加速度.
2. 分析角度二：流体的连续性
设微元流体流过截面s1和s2的速度分别为v1和v2，所用时间为Δt.
由流体的连续性可得：ρs1v1Δt=ρs2v2Δt， 化简得s1v1=s2v2，或2yz0v1=2y′z0v2，即yv1=y′v2
令：yv1=y′v2=k （5）k为定值，单位：m2/s.
3. 分析角度三：流体能量变化
由动能定理得：
W安=F安·Δs=2（B·z0·j0）y·Δx·Δs （6）
W安=ΔEk= m - m （7）
∵ =（v1+Δv）2= +2v1·Δv+（Δv）2
∴ΔEk= m（ - ）= m（2v1·Δv+（Δv）2）
因为流体微元运动时间极短，Δv远小于v，忽略高阶小量（Δv）2后
ΔEk≈mv1·Δv=2ρyz0Δxv1·Δv （8）
（6）（8）式代入（7）式得： ·Δs=-
由几何关系得：Δs=Δx，上式化为 · Δx=v1·Δv （9）
取y轴正向的曲线进行分析：由（5）式可得v1Δv≈- ，该式代入（9）式得
· Δx=- （10）
由于以上运动在极短时间内完成，（10）式可改写为 dx=- dy （11）
两边同时积分，即： dx= - dy
·x= - （12）
式中： k为比例系数；y0为进水口高度的一半，B、j0、ρ、k、y0均为定值.
（12）式为磁流体推进管几何形状图2所满足的曲线方程，对照此式，可以确认：推进管沿海水流动方向的截面面积逐渐减小.
三、磁流体推进管几何形状的进一步讨论
将（12）变形得： - = x （13）
用浙江卷理综第25题提供的数据估算上式右边项的值，即可得到推进管出水口处的高度值，此值应为整个磁流体推进管高度的最小值.
由题意可得各参数值j0= = = = ×105A/m2，k=y0v0=0.15×30=4.5m2/s，B=6.4T，
x=a=0.3m， x = ×0.3≈1.58m-2，
ymin=0.1474m，dmin=2ymin=0.2948m≈0.3m.
通过（12）式方程及上述参数计算，可得推进管的管径数值分布图，如图5所示.
由此可见，推进器进水口高度（最大值）和出水口高度（最小值）近似相等，整个推进管的上、下管壁可近似为平行.
通过上述讨论，可以得出的结论是：在特定的物理条件下，将超导磁流体推进器几何形状近似为矩形管是一种科学的近似简化.
四、困惑的形成与解释
（4）式表明海水在推进管中做匀加速直线运动，加速度a= ，推进管内流速分布应满足：v2= +2ax，代入相关数据：a= ≈53.3m/s2，v0=30m/s，x=0.3m，得：v=30.5m/s.
此数据与题中v=34m/s相差甚远，由此可以确定：题中所描述的推进管内流体完全有可能发生了湍流运动. 若事实果真如此，那么从加速效果推测：湍流运动应相当激烈，管壁对流体运动有强约束作用.在工程实践中，对运动形式极为复杂的湍流，空间各点的流动描述不仅需要适用的湍流模型，必要时还需调用相应的经验公式、半经验公式并调整控制参量.总之，湍流运动的连续性问题是不宜简单套用稳流运动连续性表达式s1v1=s2v2.
浙江理综第25题出于方便计算海水的传导电阻及相应的热功率考虑，采用了流体充满推进管的一维稳态加速运动模型，袁张瑾[1]的证明也是在此模型基础上进行的，而流体连续性问题属流体的流动性问题，在理想流体条件下采纳二维空间自由加速稳流模型更为合理，如（12）式方程.如果用稳流运动连续性表达式来分析湍流，也就是说，本题中将处理电学问题所用模型与处理流动问题所用模型相混淆，势必形成文中所提的师生困惑.鉴于流动问题的高度复杂性，欲建立适合中学阶段简单又统包力、电问题的统一模型恐为难事，较为可行的做法是：类似于光的波粒二像性理论运用策略，根据问题的侧重程度，分别选择各自合适的物理模型.
参考文献：
[1] 袁张瑾. 潜艇动力系统总功率的另两种计算方法[J]. 物理教学，2013（7）：65-67.
[注1]：当流体的黏滞性不考虑时，“空隙”区域内不应考虑流动流体的存在，在理想流体模型中，是没有外力作用在此区域内的流体上，也无法用实验检验之.当修正模型考虑流体的黏滞性后，“空隙”区域就是通常所说的边界层，起始边界层比较薄，随后逐渐变厚，最后趋于稳定.边界层内流体存在速度梯度，从管壁接触处开始流速从零增加并过渡到边界层，边界层外速度则均匀分布.