在磁场作用下悬臂梁的随机振动
中图分类号：TU3 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2013）0110245-02
1 引言
随机振动已经成为现代应用力学中的一个重要分支。在自然界与实际工程中，存在很多可以诱发结构系统随机振动的根源，如大气湍流、噪声、路面不平整度以及地震地面运动等，关于在随机激励作用下结构的振动计算、疲劳强度设计、可靠性、噪声与隔振以及随机振动实验等一系列的动力学问题，已经成为人们研究的课题之一，并取得了一定的研究成果[1-6]。但对于处在电磁场和变形场耦合场作用下构件的随机振动研究还不多见。本文基于悬臂梁这一简单结构，第一振型占有振动能量的绝大部分，将磁场作用下的悬臂梁的磁弹性随机振动问题简化为广义单自由度随机振动问题。最后得到悬臂梁的位移响应的功率谱密度函数及位移峰值功率谱密度。对结构的磁弹性随机振动问题的研究有重要意义。
2 磁场作用下梁的磁弹性随机振动方程
一横截面为矩形（高为h，宽为单位长度1）的等截面梁在磁场B（0，0， ）的作用下，通以随机电流，其电流密度矢量为J=（ （t），0，0），根据梁的弯曲振动理论和电磁弹性基本理论得到了磁场中梁的磁弹性振动方程[5]：
其中，W（x，t）表示梁的横向位移响应，E是弹性模量，I是截面惯性矩，ρ是单位长度的密度，A是梁的截面面积， 是简约内阻尼系数，且有 （ 是粘性系数）， 是电磁力矩， 是电磁力， 是随机载荷。洛伦兹力及力矩带入方程（1）中得到梁的磁弹性随机振动方程
3 悬臂梁横向位移的随机响应
本文采用的是Bernoulli-Euler梁，悬臂梁受静荷载p作用时挠曲线为[7]
在悬臂梁的端部挠度最大为：
梁变形后的形状可以用挠度曲线与梁的中点挠度之比来归一化地表示成 是无量纲的量。
当该梁受均布随机荷载作用时，如果选取
则 为广义单自由度体系的广义坐标， 是相应于广义坐标 的振型函数。
体系的运动方程可以写为：
其中对应于广义坐标的广义物理参数为
广义质量为
广义阻尼系数
广义刚度为
广义荷载为
方程（7）可简化为如下形式：
位移响应 的功率谱密度函数为：
当 时，得到体系的最大位移响应 的峰值功率谱密度
4 算例分析
作为例子，取方形截面悬臂梁，梁长 ，横截面尺寸高 ，材料的弹性模量E=200 ，泊松比
。简约内阻尼系数 。
电磁场的特征参数： ，电导率：
我们考虑外加电流为平稳随机电流，且为理想白噪声，则其电流密度分量 的功率谱密度为一常数，如图1，
。此时的激励为平稳随机激励。
我们可以得到位移响应的功率谱密度图，如图2。
图2 位移响应的功率谱密度图
5 结论
1）本例中可以看出由于通入不同的随机电流，悬臂梁的位移最大峰值有明显的变化。利用此性质可在减振降噪研究以及对结构系统的监测与故障诊断等实际问题中，发挥重要作用。
2）具有连续质量分布的悬臂梁结构，当结构高度很大，或高宽比值较大且可忽略扭转影响时，可仅考虑结构第一振型的影响。
3）可进一步得到应力响应功率谱密度函数图形，根据应力响应功率谱密度函数来分析和预测零部件疲劳寿命。
基金项目：河北省自然科学基金面上项目（A2012203140），秦皇岛市科学技术研究与发展计划（201101A156）
参考文献：
[1]林家浩、钟万勰、张文首，结构非平稳随机响应方差矩阵的直接精细积分计算，振动工程学报，1999，3（1）.
[2]高伟、陈建军、马娟、杜雷，平稳随机激励下线性随机桁架结构动力响应分析，振动工程学报，2004，3（1）.
[3]张义民、刘巧伶，单自由度非线性随机参数振动系统的可靠性灵敏度分析，固体力学学报，2003，3（1）.
[4]陈颖、王东升、朱长春、张思箭，刚度不确定性结构在基础随机激励下的振动响应谱分析，振动与冲击，2004（3）.
[5]王平、李晓靓、白象忠、王之人，导电梁在磁场中的磁弹性随机振动，振动与冲击，2007（3）.
[6]Ambartsumian S A， et al. On The Problem of Vibrations of Non-Linear-Elastic Electro-conductive Plates inTranverse and Longitudinal Magnetic Field. INT J. Non-linear Mechanics.1983，19（2） .
[7]马世麟、傅仁本，材料力学，机械工业出版社，1996，11.