《高等应用数学》定积分的教学探索
Teaching of Definite Integral in Advanced Applied Mathematics
Zhang Jianguo
（云南国土资源职业学院，昆明 650217）
（Yunnan Land and Resources Vocational College，Kunming 650217，China）
摘要： 数学教学改革多年都流于形式，传统性强，权威性高，是问题所在。本人将传统16课时定积分教学，打破传统模式，改造成6课时教学，收到了很好的效果，现在拿出来与读者共享。
Abstract: Mathematics teaching reform has been for many years, but it is merely formality, strongly traditional, highly authoritative, this is the problem. I changed the traditional 16 classes teaching of definite integral into 6 classes teaching, breaking the traditional method, and received good results. Now I will take it out and share with readers.
关键词： 高职教育改革 数学 定积分
Key words: reform of higher vocational education；mathematics；the definite integral
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）２7-0181-02
1课程的重要性
定积分的创立，极大的推动了科学技术的发展，使过去很多用中等数学束手无策的问题得到解决。显示了定积分的非凡的威力。在公元前三世纪阿基米德提出曲边面积的问题，到我国古代我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、人类几千年来一直在考虑但未成熟的思想，由于有了定积分，瞬间都成熟，科学发展了，教育有了内容得到了高速的发展，这在高等教育发展上有攀高俯之的意义，是高等教育存在基础。课程教学对象是千千万万高职高专的学生，为他们创造优质教育环境，缩短教学时间，更多时间投入到实践学习，提高学生学习质量，同时高等数学是高校基础领域核心课程，具有普遍性和学科的重要性。
2课改的背景
云南国土资源职业学院开设《高等应用数学》从1999年开始是大一第一学期新生班开设，每周6节，总课时理论课时（不含假日）84～108节不等，实际课时（国庆节，元旦节，运动会冲课。）80～100节。2005年后理论教学和实践教学1:1，大部分专业改为每周4节，实际课时调整54～64节。学生入学的高考成绩由原来在中学生中的中上，在大量的扩招后现在变成中学生中的中下，这两降（课时降和成绩降），确实给云南国土资源职业学院开设《高等应用数学》带来不小的冲击与压力，随着实践教学的增加，留给《高等应用数学》教学空间越来越小，时间不够用任务重的矛盾日趋紧张，因此课改必须与时俱进。这是我课改中定积分一章的索引。
3课改前后对照
课改前的16个教学时数，课改后的6个教学时数，整整减少10个学时，对教学系统的完整性有不小的贡献。具体的课程要求如下：课改前：定积分及其应用（16学时）具体是：①定积分的概念及性质（4节）；②微积分基本公式（2节）；③定积分的换元积分法与分部积分法（4节）；④广义积分（2节）；⑤定积分的应用（4节）。
教学要求：理解定积分的概念和性质，理解变上限的作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，并能用其计算定积分，着重介绍微元法，会利用微元法进行一些简单的几何量，物理量（如面积、体积、路程、功等）的计算。
教学重点：定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式的具体应用。
教学难点：微元法的具体应用。
课改后：定积分及其应用（6学时）具体是：①定积分的概念及性质及运算（4节）；②定积分的应用（2节）。
教学要求：理解定积分的概念和性质，理解变上限的作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，并能用其计算定积分，着重介绍微元法，会利用微元法进行一些简单的几何量和物理量（如面积、体积、路程、功等）的计算。
教学重点：定积分的定义（牛顿—莱布尼兹公式）定积分的几何意义概念，牛顿—莱布尼兹公式的具体应用，元素法的具体应用。
教学难点：元素法的具体应用。
从上面要求看内容、要点什么都没有少？具体是如何做到的？
4改变教育模式，向传统模式挑战
4.1 传统教育载体模式
两个实例：
例题 1如图计算曲边梯形的面积（图1）。
例题2 求变速直线运动的路程（图2）。
解决上面的两个千年问题在一般的教科书都是用（具体过程高等数学定积分一节都有阐述，这里不再重述，下面只写标题，过程省略）：①分割（过程省略）；②取近似（过程省略）；③求和∑（过程省略）；④取极限（过程省略）。
上面归纳为对个量进行“分割；取近似；求和∑；取极限。”描述这四个过程两题约有3000多字，最后给出如下300多字定积分的定义。
定积分的定义：设一元函数y=f（x）在区间[a，b]内有定义，将区间[a，b]分成n个区间[x0=a，x1]，[x1，x2]，[x2，x3]，…，[xn-1，b=xn]。记△xi＝xi－xi-1，（i=0，1，2，…，n），最大的小区间的长度记为λ=max{?驻xi}，再在每个小区间[xi-1，xi]上取任意一点ξi，作乘积f（ξi）△xi的和式：Sn=∑■■f（?孜■）?驻x■，如果?姿→0时上述极限存在（即，这个极限值与[a，b]的分割及点 ξi的取法均无关）或者当n→∞时?姿→0时和式Sn=∑■■f（?孜■）?驻x■的极限存在，则称此极限值为f（x）在[a，b]上的定积分。记做：■f（x）dx=lim■■f（?孜■）或者记做：■f（x）dx=lim■■f（?孜■）， 其中称a为定积分下限，b为定积分上限，x是积分变量， f（x）为被积函数，f（x）dx为被积式，∫为积分号，[a，b]为定积分的积分区间。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的定积分值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
上述定积分的概念即繁琐又啰嗦，从上述实例再到定积分定义教师足足用一个多小时来讲述，费时费工，正所谓教师难教学生难学，即便掌握了已不大适用，太传统了不能解决实际问题，给学生觉得数学高深复杂，同时已给后续教学内容和学生学习内容产生困难，耽误了宝贵的学习时间，而采用下面的教育模式，情况会怎样？
4.2 现代的教育载体模式：两个实例
例题1如图计算曲边梯形的面积（图3）。例题2求变速直线运动的路程（图4）。
同样是解决两个千年问题，我们采用定积分解决它，而前面是用它解决定积分。因此解决上述问题只需引入如下的定积分的定义（牛顿-莱布尼兹公式，我自己命名定义）就够了。定积分的定义：设一元函数y=f（x），在区间（a，b）内有定义，且?蘩f（x）dx=F（x）+C，F（x）在[a，b]连续，则F（b）-F（a）叫做f（x）在区间（a，b）上的定积分，写成：■f（x）dx=F（x）■=F（b）-F（a）其中称a为积分下限，b为积分上限， f（x）为被积函数，f（x）dx为被积式，∫为积分号。上述定积分定义即简单又与不定积分发生联系，使学生一来就知道定积分干什么，第一节课就会做定积分的题，学生学习轻松，关键是■f（x）dx=F（x）■F（b）-F（a）式子是学习定积分的核心，学生容易与不定积分发生联系，很快就掌握定积分的体系，教师学生都很轻松，16节课的内容6节课搞定，提高了教学的效益。这里需强调是用定积分解决了（例题1如图计算曲边梯形的面积：A=■f（x）dx；例题2求变速直线运动的路程：S=■v（t）dt。）的问题。而不是用例题1，例题2去推导定积分，当然省心多了，定积分不需推导，直接给出就行。
5课改后的教学安排
（1）定积分的定义和简单计算一节主要讲述要点如下：①■f（x）dx=F（x）■=F（b）-F（a）；②定积分的说明；③定积分计算的例题；④学生目标训练：P156页6-2的第4大题：（2）定积分的几何意义和几何计算一节，主要要点如下：①面积元素f（x）dx=矩形的面积定积分的几何意义；②例题；学生目标训练P151页6-1 1、2两大题，（3）定积分的性质一节，主要要点如下：①定积分的性质；②的有关计算；③定积分的大小比较和判断；④学生目标训练：P151页6-1 5-6两大题，P156页6-2的1，3，4三大题。（4）奇偶函数在[-a，a]的定积分，广义定积分一节主要要点如下：①■f（x）=2■f（x）dx，f（x）在[-a，a]是偶函数0，f（x）在[-a，a]是奇函数的例题与结论；②广义积分核心■f（x）dx=F（x）■=F（b）-F（a）定义就够了。③学生目标训练：P162页6-3的一大题；P167页6-4、1，2两大题。（5）定积分的应用二节主要要点如下：①面积元素1）[f（x）-g（x）]dx=长×宽=小长方形的面积叫曲边梯形的面积元素即ds=[上界-下界]dx，见图5。2）如图曲边梯形的面积元素ds=[右界-左界]dy=长×宽=小长方形的面积=[?渍（y）-?酌（y）]dy，于是曲边梯形的面积S=■[?渍（y）-?酌（y）]dy。②体积元素；做功元素；路程元素；等元素。（与上相同，省略）③元素法是微积分的精髓，是人类思想的飞跃，它借用定积分的工具，用最简单的元素解决了大自然的规律，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决几何问题和力学中的问题，在各专业课中它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清 的丰功伟绩。
6教学质量对比
6.1 教学内容数量上的变化：刚开始课时从每周6节变成4节，教学只能完成原来的三分之二，使得教学常常是有头无尾，课时少的班级只能完成不定积分。这两年上课内容回到原来的上课内容。定积分从16节，变成现在6节，功不可没。
6.2 统考情况：前几年，统考成绩一直是及格率（卷面成绩）三分之二左右，近几年统考成绩一直是及格率（卷面成绩）五分之四左右，同样的题库，说明两降（课时降和成绩降）内容没少，成绩在上升，显示课改的成就。
6.3 学生评教情况：前几年（06年以前）每周6课时，学生评教成绩普遍在90分以下，这几年每周4课时学生评教成绩普遍在90分以上。
上述教育模式的改变：①是用传统的定积分的定义教学；②直接就用微积分公式（牛顿-莱布尼兹）作定积分的定义教学。用传统的定积分的定义教学，就是现在教材采用的，由于历史.背景.和复杂概念推导和引入，逻辑性和理论要求较高，因此要16小时才能完成此章的学习。用后者教学真的轻松多了，少了定积分的概念一节（2-4节）；牛顿-莱布尼兹公式的推导和变上限定积分（2节）；还有推导表述的简单化，学习难度的降低等，因此只用6节课完成此章的学习。高等职业教育要讲效益，数学是学生一生一世的素质教育，是学生及家庭世世代代的文化基础，16节变成6节变化的表面看只是点数字变换，但是一个学院几年下来上万名学生；一个省；一个国家呢，节约时间可不是10小时这么简单，它意义非凡，相信上述改革会对同类教育产生不小贡献，也是改革高等教育的索引。
说明：1《参考书籍》：云南大学出版社高职高专公共课系列教材《高等应用数学》左艳芳、杨家坤主编。上述观点只代表《高等应用数学》专科层次的观点，不代表高等数学本科及以上层次的观点。2文章提到作业页码都是云南大学出版社高职高专公共课系列教材《高等应用数学》左艳芳、杨家坤主编的教材对应。有关数据来自云南国土资源职业学院教务处和下属数理化教研室。